«Факультет математики ВШЭ — это очень активное сообщество, как и вообще Москва»

Карлос Кортес из Эквадора, бронзовый медалист Международной математической олимпиады (2011, 2012 и 2013 гг.) и выпускник математического факультета Массачусетского технологического института (MIT), провел два месяца летних каникул на научной стажировке на факультете математики ВШЭ. О впечатлениях от учебы в России он рассказал новостной службе ВШЭ.

Стажировка стала возможной благодаря соглашению о сотрудничестве между ВШЭ и программой международных научных и технических инициатив MIT (MISTI). От стандартной программы обмена стажировка отличается, во-первых, продолжительностью — она короче и не привязана строго к учебному календарю, а во-вторых, задачами, которые в рамках своего пребывания в зарубежном университете решает участник — в первую очередь речь идет о реализации исследовательских проектов, а не сдаче учебных курсов, хотя посещение курсов во время стажировки возможно и приветствуется. Стажировка на факультете математики обычно включает в себя научную работу под руководством одного из сотрудников факультета. 

От конкурсов к науке

В 12 лет Карлос попал на математический конкурс и без подготовки победил в нем. После этого он заинтересовался математикой всерьез. Продолжил участвовать в конкурсах и в конце концов, выбрав математику как профессию после окончания школы в Эквадоре, поступил в MIT.

«В математических конкурсах цель очень четкая — у тебя есть четыре с половиной часа на решение определенных задач», — вспоминает свой опыт Карлос. «Ты знаешь, что у этих задач есть решения, поэтому ты можешь подумать о том, как мыслил человек, придумавший эти задачи. А когда ты занимаешься математическими исследованиями, ты не до конца уверен, что именно ты ищешь. У тебя может быть некое представление о предмете исследования, но это поиски наощупь в темноте в попытке выйти к свету. Иногда ты его находишь, иногда нет, но начиная, никогда не знаешь, чем это закончится».

За первые два или три года обучения в университете Карлос постарался перестроиться с «олимпиадного мышления» на «исследовательское», хотя до сих пор не уверен, что сделал это до конца.

«Примерно на третьем году обучения я понял, что научная работа в математике потребует гораздо больше терпения, чем соревнования, — говорит Карлос. — На соревнованиях основная цель — решение задач, а в исследованиях есть и вторая столь же важная цель — построение теории. Иногда на понимание материала и получение результата уходят дни, недели и даже месяцы, но мне это нравится. Конечный результат бывает столь прекрасен, что он стоит всего этого. А на соревнованиях через три часа ты уже выжимаешь из задачи максимум. Кроме того, задачи на соревнованиях представляют четыре области — алгебру, геометрию, теорию чисел и комбинаторику. На самом деле, первые три из них довольно далеки от настоящей математики. Только комбинаторика чем-то похожа на ту комбинаторику, которая существует в научном математическом мире».

Научная стажировка в России

Путешествие Карлоса в Россию началось на втором году его учебы в MIT, когда студентам нужно было выбрать дополнительную специализацию помимо математики. Он выбрал русский язык, частично потому, что знание иностранного языка, например, немецкого, французского, русского или китайского, зачастую требуется для поступления в магистратуру.

По мере того как Карлос погружался в русскую культуру и литературу, он также начал интересоваться российской математической школой и ее отличиями от американской, французской и британской школ.

«Впервые о ВШЭ я услышал от Александры Викторовой, с которой познакомился на Международной математической летней школе в Лионе в 2012 г. Она недавно закончила факультет математики ВШЭ и сейчас работает над PhD в Университете Стоуни-Брук», — рассказывает Карлос.

Мне кажется, в России гораздо более выражена тенденция к ранней специализации в теоретических областях. В США студенты приходят в университет, не очень хорошо представляя, чем они хотят заниматься, будь то математика или компьютерные науки

«Когда MIT и ВШЭ предложили мне научную стажировку, это было очень гибкое предложение в смысле того, что она будет в себя включать», — говорит Карлос. — Мой проект имеет привкус комбинаторики, хотя начиналось все с теории узлов. Узел можно представить в виде шнурка, который запутан в пространстве, но со связанными концами. Очень сложно определить, отличаются ли друг от друга два узла, то есть, можем ли мы превратить один узел в другой, не разделяя концы шнурка. Изначально мы планировали изучить некоторые весовые системы на хордовых диаграммах, которые в комбинаторике являются аналогом так называемых «инвариантов Васильева», или инвариантов узлов конечного типа. Кстати, профессор Виктор Васильев сейчас возглавляет базовую кафедру Математического института им. В.А. Стеклова РАН в ВШЭ».

Кроме ведения научной деятельности, Карлос также посещал лекции в рамках Русско-китайской конференции по теории узлов, которые помогли ему решить, что это направление останется в области его дополнительных научных интересов, а не основных. Он также участвовал в летней школе «Алгебра и геометрия», которую организует ВШЭ совместно с Ярославским государственным педагогическим университетом.

«Школа была отличной! — радостно вспоминает Карлос. — Было непросто, поскольку я до сих пор недостаточно хорошо знаю русский, чтобы понимать все лекции, но очень помогало, что лекторы писали на доске. Кроме того, после того как я по шесть часов в день слушал лекции, я стал понимать русский гораздо лучше, чем когда только приехал в Россию. На этой школе я познакомился со многими интересными людьми. Некоторые из них — выпускники Вышки, которые также собираются ехать учиться во Францию».

Математика в США и России

В США студенты обычно поступают в университет с небольшим объемом знаний по математике. Программа очень гибкая, то есть студенты могут выбирать более сложные курсы, но общие стандарты того, что они должны знать на момент поступления в университет или его окончания, не очень высоки. Это очень отличается от того, что Карлос увидел на школе в Ярославле: пообщавшись со студентами первого и второго курсов, он понял, что некоторые школьники в России очень рано начинают заниматься теоретической математикой.

«В среднем студенты третьего и четвертого курсов бакалавриата, магистратуры и аспирантуры в России младше, чем в США. Это поражает, — говорит Карлос. — Мне кажется, в России гораздо более выражена тенденция к ранней специализации в теоретических областях. В США студенты приходят в университет, не очень хорошо представляя, чем они хотят заниматься, будь то математика или компьютерные науки. Они могут определиться на втором курсе. В России все более специализировано».

До того, как приехать сюда, я слышал много хорошего о Вышке, и теперь рад убедиться в этом на собственном опыте. Мне очень понравились и Вышка, и Москва

Карлос обнаружил, что одно из отличий между ВШЭ и MIT — это то, что в ВШЭ факультет математики отделен от других подразделений университета, поэтому студенты-математики общаются в основном друг с другом. А в MIT департамент математики очень близок к другим подразделениям и в географическом, и в академическом смысле, поэтому у студентов больше возможностей знакомиться с другими дисциплинами.

«Когда у математиков есть возможность собраться вместе, как в ВШЭ, ты можешь «жить математикой» и гораздо глубже ею заниматься, поскольку ты погружен в этот мир, — добавляет Карлос. — Мне кажется, факультет математики — это отличное место. Это очень активное сообщество, как и вообще Москва, где проходит огромное количество математических лекций и семинаров. ВШЭ предлагает много интересных курсов с высоким уровнем преподавания. До того, как приехать сюда, я слышал много хорошего о Вышке, и теперь рад убедиться в этом на собственном опыте. Мне очень понравились и Вышка, и Москва. Я с удовольствием побуду здесь еще».

Индивидуальное научное руководство

Научным руководителем Карлоса стал профессор Сергей Ландо, который познакомился с Карлосом еще до начала стажировки, во время визита в MIT в марте 2017 года. «У каждого преподавателя, ведущего собственную исследовательскую деятельность и руководящего подобной деятельностью студентов и аспирантов, есть подборка задач и сюжетов, пригодных для обсуждения со студентами, — рассказывает Сергей Ландо. — Эти же задачи предлагаются и потенциальному стажеру, а тот уже выбирает подходящую для себя. В процессе последующей работы задача уточняется и обретает конкретную форму. Карлос в конце концов остановился на задаче, которую я ему не предлагал, считая слишком сложной. Речь идет о моей старой гипотезе, к доказательству которой я не вижу никаких подходов. Однако она-то и оказалась для Карлоса наиболее привлекательной. Рассчитывать на принципиальные прорывы за два месяца не приходится. Поэтому я стараюсь концентрировать внимание стажера на освоении различных подходов к решению задачи и на возможных применениях будущего — пусть даже частичного — результата. В дальнейшем — уже после окончания стажировки — бывший стажер сможет работать над задачей уже самостоятельно, применяя освоенные методы». 

Как считает профессор Ландо, «выбор летних месяцев для проведения подобной стажировки обладает естественным недостатком: ровесники разъезжаются кто куда, в результате чего среда потенциального взаимодействия существенно разрежается. Карлосу удалось частично компенсировать это, приняв участие в летней Школе по алгебраической геометрии в Ярославле. Но у летнего времени есть и свои достоинства, — скажем, я смог уделять стажеру больше времени, чем это было бы на протяжении учебного года».

Как отмечает декан факультета математики Владлен Тиморин, «чаще всего, помимо погружения в какую-то актуальную математическую проблему, изучения соответствующей литературы и попытки получить первые самостоятельные результаты, мы стараемся приобщить наших стажеров к московской математической жизни, которая даже летом остается очень активной, — участию в работе семинаров и летних школ на близкие к выбранной для исследований теме, взаимодействию с нашими студентами, работающими в смежных областях и т. д. Формальным итогом стажировки чаще всего служит отчет, который нередко является основой для будущей научной статьи, чаще всего одной из первых для стажеров. Для студентов и аспирантов стажировка — это возможность познакомиться с работой всемирно известных научных школ изнутри и расширить свой математический кругозор. Для нашего факультета это способ рассказать о наших программах потенциальным мотивированным абитуриентам и возможность начать перспективное сотрудничество с будущими учеными».

Принять участие в стажировке могут студенты университетов-партнеров ВШЭ, число которых растет с каждым годом. Но и студенты других университетов также имеют возможность пройти стажировку на факультете математики НИУ ВШЭ в рамках Международного летнего университета.